Question

已知f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx，g（x）=（4x+

1

x

）lna（x＞0）其中a是常数．若函数f（x）的单调减区间为A，且函数g（x）在区间A上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间

专题：分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：分别求出f（x），g（x）的导数，对a讨论，当a=1，当0＜a＜

1

2

，当

1

2

＜a＜1，当a＞1时，解不等式f′（x）≤0，得减区间A，再由g′（x）≤0在A上恒成立，求得a的范围，再求并集即可．

解答： 解：f（x）=x-

4

x

-（4a+

1

a

）lnx的导数为f′（x）=1+

4

x2

-（4a+

1

a

）•

1

x

，
g（x）的导数g′（x）=4lna-

lna

x2

，
令f′（x）=1+

4

x2

-（4a+

1

a

）•

1

x

≤0，g′（x）=4lna-

lna

x2

≤0，
∵x＞0，
则不等式组化为x+

4

x

≤4a+

1

a

，lna•（4x²-1）≤0，
∵4a+

1

a

≥x+

4

x

≥4，
∴a＞0
（1）当a=1，g'（x）=0，g（x）是常数函数，不符合单调递减；
（2）当0＜a＜

1

2

，lna＜0，
x+

4

x

≤4a+

1

a

解得4a≤x≤

1

a

，
由g′（x）≤0在[4a，

1

a

]恒成立，
则4x²≥1在[4a，

1

a

]上恒成立，即4•（4a）²≥1，
解得a≥

1

8

．
则有

1

8

≤a＜

1

2

；
（3）

1

2

＜a＜1，lna＜0，
f′（x）≤0的解集为[

1

a

，4a]，
则4x²≥1在[

1

a

，4a]上恒成立，即4•（

1

a

）²≥1，成立．
即有

1

2

＜a＜1；
（4）当a＞1时，lna＞0，
f′（x）≤0的解集为[

1

a

，4a]，
则4x²≤1在[

1

a

，4a]上恒成立，即4•（4a）²≤1，
解得a≤

1

8

．
则a＞1不成立．
综上所述，

1

8

≤a＜

1

2

或

1

2

＜a＜1．

点评：本题主要考查导数研究函数的单调性问题，解题时注意分类讨论思想的运用，考查学生的运算求解能力，属于中档题．