Question

已知函数，在定义域[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为．有以下命题：

①是奇函数；②若在内递减，则的最大值为4；③的最大值为，最小值为，则； ④若对， 恒成立，则的最大值为2．其中正确命题的序号为————

 

Answer 1

【答案】

①③

【解析】解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，∴f（0）=0∴c=0∵f′（x）=3x²+2ax+b，且在x=±1处的切线斜率均为-1．∴f′（1）=f′（-1）=-1

3+2a+b=-1和3-2a+b=-1，解可得b=-4，a=0∴f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4

①∵f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函数；①正确

②由f′（x）≥0得单调区间进而得到结论。

③由奇函数的关于原点对称可知，最大值与最小值互为相反数，f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0；③正确

④若对∀x∈[-2，2]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，8]，则k≤f′（x）恒成立，则k≤4，则k的最大值为-4．④错误

正确命题的序号为①③