Question

9．在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC=CD=1，AB=2
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求直线AD与平面ABC所成角的余弦值
（3）求二面角C-AB-D的大小．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥AB，CD⊥BC，知CD⊥平面ABC，由此能证明平面ACD⊥平面ABC．
（2）由AB⊥CD，AB⊥BC，知AB⊥平面BDC，∠ADB是直线AD与平面ABC所成角，由此能求出直线AD与平面ABC所成角的余弦值．
（3）推导出AB⊥平面BCD，∠CBD是二面角C-AB-D的平面角，由此能求出二面角C-AB-D的大小．

解答 证明：（1）∵CD⊥AB，CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC，
又∵CD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABC．
 解：（2）∵CD⊥平面ABC，∴AB⊥CD，
∵AB⊥BC，BC∩CD=C，
∴AB⊥平面BDC，
∴∠ADB是直线AD与平面ABC所成角，
∵AB=2，BC=CD=1，BC⊥CD，
∴BD=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{6}$，
∴cos$∠ADB=\frac{BD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AD与平面ABC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，
∴AB⊥BD，
∴∠CBD是二面角C-AB-D的平面角，
∵在Rt△BCD中，BC=CD，∴∠CBD=45°，
∴二面角C-AB-D的大小为45°．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值、二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．