Question

已知△ABC中，

cosA

cosB

=

AC

BC

=

3

4

，
（1）求证：∠C=90°； 
（2）如图，以C为原点，CB，CA分别在x轴和y的正半轴，当AB=5时，求△ABC的内切圆的方程？
（3）若AB=t（t＞0），P为内切圆上的一个动点，求PA²+PB²+PC²的最大值和此时的P点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，变形后得到sin2A=sin2B，可得A=B或A与B互余，由cosA与cosB的比值不为1，得到A与B不相等，故A与B互余，可得C为直角，得证；
（2）由C为直角，利用勾股定理，AB的值及AC与BC的比值，求出AC及BC的值，设三角形内切圆的圆心为M，连接MA，MB，MC，把三角形分为三个三角形，三个三角形的高为内切圆的半径，利用三个三角形面积之和等于三角形ABC的面积列出关于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，得到M的坐标，由圆心和半径写出内切圆的标准方程即可；
（3）由AC与BC的比值，设出AC=3a，BC=4a，进而得到A和B的坐标，又AB=t，利用勾股定理得到a与t的关系式，用t表示出a，且表示出此时内切圆的标准方程，设P的坐标为（x，y），利用两点间的距离公式表示出PA²+PB²+PC²，整理后，将设出的圆标准方程代入得到PA²+PB²+PC²=-2ax+22a²，可得当x=0时，PA²+PB²+PC²取得最大，把x=0代入此时y的值，得到P的坐标．

解答：解：（1）由正弦定理得，

sinA

sinB

=

BC

AC

，又

cosA

cosB

=

AC

BC

=

3

4

∴

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，即sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
解得：A=B或A+B=90°，
又

cosA

cosB

=

AC

BC

=

3

4

，
∴A≠B，
∴∠C=90°；
（2）由（1）得，AC²+BC²=AB²，又

AC

BC

=

3

4

，AB=5，
∴AC=3，BC=4，
设圆心为M，连接MA，MB，MC，
由S△ABC=

1

2

(AB+BC+AC)•r=

1

2

CB•CA，
解得r=1，
∴M（1，1），
∴圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1；
（3）设P（x，y），A（0，3a），B（4a，0），（a＞0），AB=t，
∴a=

t

5

，此时内切圆方程为：（x-a）²+（y-a）²=a²，
∴PA²+PB²+PC²=x²+（y-3a）²+（x-4a）²+y²+x²+y²=3[（x-a）²+（y-a）²]-2ax+19a²，
∵P（x，y）为内切圆上的点，
∴PA²+PB²+PC²=3a²-2ax+19a²=-2ax+22a²，又0≤x≤2a，
∴当x=0时，PA²+PB²+PC²的最大值=22a2=

22

25

t2，
所以，当P坐标为(0，

t

5

)时，PA²+PB²+PC²的最大值为

22

25

t2．

点评：此题考查了正弦定理，圆的标准方程，直角三角形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，其中第三问表示出PA²+PB²+PC²，整理后注意将（x-a）²+（y-a）²=a²代入来解决问题．