Question

求证：当a=2时，函数f（x）=x²-alnx在区间（1，2]上单调递增，g（x）=x-a

x

在区间（0，1）内单调递减．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：当a=2时，函数f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2

x

，从而求导确定函数的单调性．

解答： 证明：当a=2时，函数f（x）=x²-2lnx，
f′（x）=2x-2

1

x

=2（x-

1

x

）；
∵x∈（1，2]，∴x-

1

x

＞0；
∴f′（x）＞0；
故函数f（x）=x²-alnx在区间（1，2]上单调递增；
g（x）=x-2

x

，g′（x）=1-

1

x

，
∵x∈（0，1），∴1-

1

x

＜0，
即g′（x）＜0；
故g（x）=x-a

x

在区间（0，1）内单调递减．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数对单调性的判断的应用，属于中档题．