Question

已知f(x)=lg

b-ax2

10x+1

，函数y=f（x）与函数y=g（x）满足如下对应关系：当点（x，y）在y=f（x）的图象上时，点(

x

3

，

y

2

)在y=g（x）的图象上，且f（0）=0，g（-1）=1．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）指出函数y=g（x）的单调递增区间，并用单调性定义证明之．

Answer 1

分析：（1）由题意可得关于ab的方程组，解之可得函数f（x）的解析式，进而可得g（x）的解析式；
（2）可知函数的单调递增区间为（-

10

3

，0），由复合函数的单调性，只需证明函数m（x）=10-9x²在区间（-

10

3

，0）上单调递增即可，由单调性的定义可证．

解答：解：（1）由题意可得

f(0)=lg b 10 =0 f(-3)=lg b-9a 10-2 =2

，解得

a=1 b=10

，
故f(x)=lg

b-ax2

10x+1

=lg

10-x2

10x+1

，x∈（-

10

，

10

）
故必有2y=lg

10-9x2

103x+1

，即y=

1

2

lg

10-9x2

103x+1

，
故函数y=g（x）的解析式为：g（x）=

1

2

lg

10-9x2

103x+1

；
（2）由（1）可知，函数y=g（x）的单调递增区间为（-

10

3

，0），
任取x₁，x₂∈（-

10

3

，0），且x₁＜x₂，
由复合函数的单调性可知，只需证明函数m（x）=10-9x²在区间（-

10

3

，0）上单调递增，
则有m（x₁）-m（x₂）=（10-9x12）-（10-9x22）
=9（x₂+x₁）（x₂-x₁），
∵x₁，x₂∈（-

10

3

，0），且x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＜0，x₂-x₁＞0，∴9（x₂+x₁）（x₂-x₁）＜0，
故m（x₁）＜m（x₂），
故函数y=g（x）的单调递增区间为（-

10

3

，0），

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及函数单调性的判断与证明，属基础题．