【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
【答案】(1).(2)见解析。
【解析】试题分析:(1)根据, 两点关于y轴对称,由椭圆的对称性可知C经过, 两点.另外由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出C的方程;(2)先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,再设直线l的方程,当l与x轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设l: (),将代入,写出判别式,利用根与系数的关系表示出x1+x2,x1x2,进而表示出,根据列出等式表示出和的关系,从而判断出直线恒过定点.
试题解析:(1)由于, 两点关于y轴对称,故由题设知C经过, 两点.
又由知,C不经过点P1,所以点P2在C上.
因此,解得.
故C的方程为.
(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,
如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t, ),(t, ).
则,得,不符合题设.
从而可设l: ().将代入得
由题设可知.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
而
.
由题设,故.
即.
解得.
当且仅当时, ,欲使l: ,即,
所以l过定点(2, )
点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且(2a﹣c)cosB=bcosC. (Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若a=2,c=3,求sinC的值.
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【题目】已知函数.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位,再将所得图象的橫坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,得到新的函数y=g(x),当时,求g(x)的值域.
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【题目】某学校为了了解高中生的艺术素养,从学校随机选取男,女同学各50人进行研究,对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评,并把调查结果转化为个人的素养指标和,制成下图,其中“*”表示男同学,“+”表示女同学.
若,则认定该同学为“初级水平”,若,则认定该同学为“中级水平”,若,则认定该同学为“高级水平”;若,则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”,否则为“不具备明显艺术发展潜质”.
(I)从50名女同学的中随机选出一名,求该同学为“初级水平”的概率;
(Ⅱ)从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选2名,求选出的2名均为“高级水平”的概率;
(Ⅲ)试比较这100名同学中,男、女生指标的方差的大小(只需写出结论).
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期是π,若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数,则函数y=f(x)的图象( )
A.关于点( ,0)对称
B.关于直线x= 对称
C.关于点( ,0)对称
D.关于直线x= 对称
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【题目】商丘市大型购物中心——万达广场将于2018年7月6日全面开业,目前正处于试营业阶段,某按摩椅经销商为调查顾客体验按摩椅的时间,随机调查了50名顾客,体验时间(单位:分钟)落在各个小组的频数分布如下表:
体验 时间 | |||||||
频数 |
(1)求这名顾客体验时间的样本平均数,中位数,众数;
(2)已知体验时间为的顾客中有2名男性,体验时间为的顾客中有3名男性,为进一步了解顾客对按摩椅的评价,现随机从体验时间为和的顾客中各抽一人进行采访,求恰抽到一名男性的概率.
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【题目】某学校高三年级有学生500人,其中男生300人,女生200人,为了研究学生的数学成绩是否与性别有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们期中考试的数学分数,然后按性别分为男、女两组,再将两组学生的分数分成5组:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人,求两人恰好为一男一女的概率;
(2)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附:K2= .
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