Question

若点（1，2）既在函数y=

ax+b

的图象上，又在它的反函数的图象上，则ab=

 

．

Answer 1

分析：本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系、求反函数的方法、解方程组等知识和方法；根据点（1，2）在 y=

ax+b

的图象上，又在它的反函数的图象上，可以有两种方法求解：
法一：求出反函数，将点（1，2）分别代入原函数和反函数的方程，构建方程组解得；
法二：利用互为反函数的函数图象关于y=x对称这一特点，不求反函数，直接将点（1，2）和关于y=x的对称点（2，1）分别代入原函数解析式构建方程组获得．

解答：解：法一：由已知得：

a+b

=2，即a+b=4，
又由 y=

ax+b

解x得：x=

1

a

(y2-b)，
则 y=

ax+b

的反函数为 y=

1

a

(x2-b)，
∵点（1，2）在反函数的图象上
∴2=

1

a

(1 -b)
与a+b=4联立解得：a=-3，b=7，
法二：由已知点（1，2）在 y=

ax+b

的图象上
则

a+b

=2，即a+b=4，
又∵互为反函数的函数图象关于y=x对称
∴点（2，1）也在函数 y=

ax+b

的图象上
由此得：

2a+b

=1，即：2a+b=1，
将此与a+b=4联立解得：a=-3，b=7，
ab=-21
答案：-21．

点评：本题方法二的解答，巧妙的利用了互为反函数的函数图象间的关系，将点（1，2）和该点关于y=x的对称点（2，1）分别代入原函数解析式构建方程组，过程简捷，计算简单，回避了求反函数的过程．这要比求出反函数，再将点的坐标代入方便得多，值得借鉴．