Question

如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，，，，且平面平面．
(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)线段上是否存在点，使平面平面？
证明你的结论．

Answer 1

(1) ， (2)详见解析.

试题分析：(1)利用空间向量求线面角，关键求出面的一个法向量. 先由面面垂直得到线面垂直，即由平面面，得平面．建立空间直角坐标系，表示各点坐标，得 ，设平面的法向量为，则有所以  取，得．根据与平面所成的角正弦值等于与平面法向量夹角余弦值的绝对值，得到与平面所成角的正弦值为．(2) 假设线段上存在点，设 ，可求出平面的一个法向量．要使平面平面，只需，即，此方程无解，所以线段上不存在点，使平面平面．
(1)因为，，
在△中，由余弦定理可得，
所以． 又因为
平面面，所以平面．  
所以两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系．

设，所以．
所以，，．
设平面的法向量为，则有
所以  取，得．   
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为．
(2)线段上不存在点，使平面平面．证明如下：
假设线段上存在点，设 ，所以．
设平面的法向量为，则有 
所以  取，得．
要使平面平面，只需，即，
此方程无解，所以线段上不存在点，使平面平面．