Question

已知命题：
①已知正项等比数列{a_n}中，不等式a_n+1+a_n-1≥2a_n（n≥2，n∈N^*）一定成立；
②若F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N^*），则F（1）=2，F（2）=24；
③已知数列{a_n}中，a_n=n²+λn+1（λ∈R）．若λ＞-3，则恒有a_n+1＞a_n（n∈N^*）；
④公差小于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若S₂₀=S₄₀，则S₃₀为数列{S_n}的最大项；以上四个命题正确的是

①③④

（填入相应序号）

Answer 1

分析：由正项等比数列{a_n}中，a_n+1，a_n，a_n-1（n≥2，n∈N^*）成等差数列，知a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2，n∈N^*）；由F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N^*），知F（1）=1+1=2，F（2）=（2+1）（2+2）=12≠24；由λ＞-3知a_n+1-a_n=[（n+1）²+λ（n+1）+1]-（n²+λn+1）=2n+1+λ＞0；由公差小于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．S₂₀=S₄₀，知20a1+

20×19

2

d=40a1+

40×39

2

d，a1=-

59

2

d，所以Sn=-

59d

2

n+

n(n-1)

2

d=

d

2

(n-30)2-450d，由d＜0，知S₃₀为数列{S_n}的最大项．

解答：解：∵正项等比数列{a_n}中，a_n+1，a_n，a_n-1（n≥2，n∈N^*）成等差数列，
∴a_n+1+a_n-1=2a_n（n≥2，n∈N^*），
∴不等式a_n+1+a_n-1≥2a_n（n≥2，n∈N^*）一定成立．
故①正确；
∵F（n）=（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）（n∈N^*），
∴F（1）=1+1=2，
F（2）=（2+1）（2+2）=12≠24，
故②不正确；
∵λ＞-3
∴a_n+1-a_n=[（n+1）²+λ（n+1）+1]-（n²+λn+1）=2n+1+λ＞0，
∴若λ＞-3，则恒有a_n+1＞a_n（n∈N^*），
故③正确；
公差小于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
若S₂₀=S₄₀，
则20a1+

20×19

2

d=40a1+

40×39

2

d，
∴a1=-

59

2

d，
Sn=-

59d

2

n+

n(n-1)

2

d
=

d

2

n2-30d
=

d

2

(n-30)2-450d，
∵d＜0，
∴S₃₀为数列{S_n}的最大项．
故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查数列的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，熟练掌握等差数列和等比数列的性质．