Question

7．设函数f（x）=$\frac{a}{3}$x³-ax²+x+1，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（1）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且1＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的导函数fˊ（x），再对a分类讨论，利用导数判断函数的单调性；
（2）由于f（x）存在两个极值点x₁，x₂，利用（1）中对a的讨论，即可得到满足1＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5的x₁，x₂的值，解不等式即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）由于函数f（x）=$\frac{a}{3}$x³-ax²+x+1，a∈R．
则f′（x）=ax²-2ax+1，△=4a²-4a，
①当a＞1时，△=4a²-4a＞0，
则f′（x）=ax²-2ax+1=0有两个根1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，
故f（x）在（-∞，1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$），（1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，+∞）上单调递增，在（1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$）单调递减，
②当0≤a≤1时，△=4a²-4a≤0，则f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在R上单调递增，
③当a＜0时，△=4a²-4a＞0，
则f′（x）=ax²-2ax+1=0有两个根1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，
故f（x）在（-∞，1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$），（1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，+∞）上单调递减，在（1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$）单调递增，
综上可知，当a＞1时，f（x）在（-∞，1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$），（1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，+∞）上单调递增，在（1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$）单调递减，
当0≤a≤1时，f（x）在R上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（-∞，1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$），（1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，+∞）上单调递减，在（1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$）单调递增；
（2）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且1＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤5，
结合（1）知，当a＜0时，x₁=1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，x₂=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，则1＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-a}}{a+\sqrt{{a}^{2}+a}}$≤5，不等式无解；
当a＞1时，x₁=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-a}}{a}$，则1＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-a}}{a-\sqrt{{a}^{2}-a}}$≤5，解得0≤a≤$\frac{9}{5}$，故1＜a≤$\frac{9}{5}$，
则满足条件的a的取值范围为{a|1＜a≤$\frac{9}{5}$}．

点评 本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题．