Question

（1）已知数列{a_n}的通项公式：，试求{a_n}最大项的值；
（2）记，且满足（1），若成等比数列，求p的值；
（3）（理）如果，且p是满足（2）的正常数，试证：对于任意
自然数n，或者都满足；或者都满足．
（文）若{b_n}是满足（2）的数列，且成等比数列，试求满足不等式：-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿ•b_n≥2004的自然数n的最小值．

Answer 1

解：（1），
∴，则a_n≤4．
即{a_n}的最大项的值为4．
（2）欲使成等比数列，只需{b_n}成等比数列．
∵，∴只需或即可．解得p=2或p=-2．
（3）（理）p=2，，
∵C₁＞-1，∴C_n＞-1．又，
∴．
∵，
∴；或．
（文）∵p=-2不合题意，∴p=2?b_n=3ⁿ，
据题意，，n_min=8．
分析：（1）将等式化简，利用指数函数的性质可得a_n≤4．从而可得{a_n}的最大项的值．
（2）欲使成等比数列，只需{b_n}成等比数列． 利用条件即等比数列的通项可求；
（3）（理）p=2，，从而可有，故可证；
（文）∵p=-2不合题意，∴p=2?b_n=3ⁿ，从而可求-b₁+b₂-b₃+…+（-1）ⁿ•b_n的和，进而可解不等式，求出自然数n的最小值．
点评：本题以数列为载体，考查数列与不等式，考查等比数列的求和，有较强的综合性．