Question

设y=f（x）在[0，+∞）上有定义，对于给定的实数M，定义函数fM(x)=

f(x)，f(x)≤M M，f(x)＞M

，给出函数f（x）=3-2x-x²，若对于任意x∈[0，+∞），恒有f_M（x）=f（x），则M的最小值为

3

；M的最大值为

不存在

．

Answer 1

分析：先根据新定义的函数，将所求解的问题转化为求解恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用二次函数的单调性求解函数的最值，进而求出M的范围．

解答：解：由题意恒有f_M（x）=f（x），需M≥f（x）对于任意x∈[0，+∞）恒成立
即需M≥f（x）的最大值，
由于f（x）=3-2x-x²=-（x+1）²+2
故f（x）在[0，+∞）上为减函数
故函数f（x）的最大值为f（0）=3
故M≥3，故M有最小值3，但无最大值
故答案为：3，不存在

点评：本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法