Question

已知函数f（x）=xe^x．
（I）求f（x）的单调区间与极值；
（II）是否存在实数a使得对于任意的x₁，x₂∈（a，+∞），且x₁＜x₂，恒有

f(x2)-f(a)

x2-a

＞

f(x1) -f(a)

x1-a

成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）由f′（x）=e（x+1）=0，得x=-1；
当变化时的变化情况如下表：可知f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），递增区间为（-1，+∞），
f（x）有极小值为f（-1）=-

1

e

，但没有极大值．
（II）令g（x）=[f（x）-f（a）]/（x-a）=（xe^x-ae^a）/（x-a），x＞a，
则[f（x₂）-f（a）]/（x₂-a）＞[f（x₁）-f（a）]/（x₁-a）恒成立，
即g（x）在（a，+∞）内单调递增这只需g′（x）＞0．而g′（x）=[e^x（x²-ax-a）+ae^a]/（x-a）²
记h（x）=e^x（x²-ax-a）+ae^a，
则h′（x）=e^x[x²+（2-a）x-2a]=e^x（x+2）（x-a）
故当a≥-2，且x＞a时，h′（x）＞0，h（x）在[a，+∞）上单调递增．
故h（x）＞h（a）=0，从而g′（x）＞0，不等式（*）恒成立
另一方面，当a＜-2，且a＜x＜-2时，h′（x）＜0，h（x）在[a，-2]上单调递减又h（a）=0，所以h（x）＜0，
即g′（x）＜0，g′（x）在（a，-2）上单调递减．
从而存在x₁x₂，a＜x₁＜x₂＜-2，使得g（x₂）＜g（x₁）
∴a存在，其取值范围为[-2，+∞）