Question

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的面积，则

1

a

+

1

b

的最小值（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  1

  4

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：根据题意，直线2ax-by+2=0经过已知圆的圆心，可得a+b=1，由此代换得：

1

a

+

1

b

=（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+（

b

a

+

a

b

），再结合基本不等式求最值，可得

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：∵直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的面积，
∴圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆心（-1，2）在直线上，可得-2a-2b+2=0，即a+b=1
因此，

1

a

+

1

b

=（a+b）（

1

a

+

1

b

）=2+（

b

a

+

a

b

）
∵a＞0，b＞0，
∴

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2，当且仅当a=b=1时等号成立
由此可得

1

a

+

1

b

的最小值为2+2=4
故答案为：D

点评：本题给出直线平分圆面积，求与之有关的一个最小值．着重考查了利用基本不等式求最值和直线与圆位置关系等知识，属于中档题．