Question

（2010•台州一模）已知函数f（x）=x²-4x+3，若实数x，y满足条件f（y）≤f（x）≤0，则

y

x

的取值范围为

[

1

3

，3]

．

Answer 1

分析：根据函数表达式将f（y）≤f（x）≤0化简整理，得

1≤x≤3 (x-y)(x+y-4)≥0

，由此作出不等式组表示的平面区域如图．运动区域内动点P并观察直线OP的斜率，即可得到

y

x

的最大、最小值，从而得到

y

x

取值范围．

解答：解：∵f（x）=x²-4x+3，
∴不等式f（y）≤f（x）≤0，即y²-4y+3≤x²-4x+3≤0
化简整理，得

1≤x≤3 (x-y)(x+y-4)≥0

，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的阴影部分
即△ABC与△ADE，及其它们的内部
其中A（2，2），B（3，1），C（1，1），D（3，3），E（3，1）
∵k=

y

x

表示区域内的动点P（x，y）与原点连线的斜率
∴运动点P并加以观察，得
当P与E（3，1）重合时，

y

x

达到最小值

1

3

；当P与B（1，3）重合时，

y

x

达到最大值3
因此，

y

x

的取值范围是[

1

3

，3]
故答案为：[

1

3

，3]

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数

y

x

的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，属于基础题．