【题目】已知正方形的边长为4,E,F分别为,
的中点,以
为棱将正方形
折成如图所示的
的二面角,点M在线段
上.
(1)若M为的中点,且直线
与由A,D,E三点所确定平面的交点为G,试确定点G的位置,并证明直线
面
;
(2)是否存在M,使得直线与平面
所成的角为
;若存在,求此时
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)点G在平面与平面
的交线上,见解析;(2)存在,
或
【解析】
(1)根据平面的基本性质可求得点G的位置,再根据平面几何中矩形和三角形的性质得出线线平行,根据线面平行的判定定理可得证;
(2)由已知可得,,
,所以
平面
,所以平面
平面
,取
的中点H为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设出点
的坐标,根据线面角的空间坐标计算公式可得
的坐标,可得解.
(1)因为直线平面
,故点G在平面
内也在平面
内,所以点G在平面
与平面
的交线上(如图所示),
因为,M为
的中点,所以
,所以
,
,
所以点G在的延长线上,且
,连结
交
于N,
因为四边形为矩形,所以N是
的中点,连结
,因为
为
的中位线,所以
,
又因为平面
,所以直线
面
.
(2)由已知可得,,
,所以
平面
,所以平面
平面
,
取的中点H为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,
,
,
,所以
,
,
设(
),则
,设平面
的法向量
,则
,取
,则
,
,所以
,
与平面
所成的角为
,所以
,
所以,所以
,解得
或
,此时
或
,
所以存在点M,使得直线与平面
所成的角为
.
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【题目】某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)求这5天的平均发芽率;
(2)从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为,
,用
的形式列出所有的基本事件,并求满足
的事件
的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差
(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);
(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若,令
,则
,且
.利用直方图得到的正态分布,求
.
(ii)从该高校的学生中随机抽取20名,记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求
(结果精确到0.0001)以及
的数学期望.
参考数据:,
.若
,则
.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线l:yx﹣3经过椭圆
1(a>b>0)的一个焦点,且点(0,b)到直线l的距离为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)A、B、C是椭圆E上的三个动点,A与B关于原点对称,且|CA|=|CB|,求△ABC面积的最小值,并求此时点C的坐标.
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【题目】养路处建造圆锥形无底仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高4m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:平面BDE⊥平面BEC.
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