Question

（2013•枣庄二模）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为

4+π2

，则函数g(x)=f(x)-

1

2

在区间[0，5π）内零点的个数为（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：由条件求得φ和ω的值，可得函数f（x）=-cosx，令g（x）=0，可得 f（x）=

1

2

，即 cosx=-

1

2

，由此求得 x 的解析式，再由x∈[0，5π），求得g（x）在区间[0，5π）内零点的个数．

解答：解：∵函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）为偶函数，∴cosφ=±1，∴φ=kπ，k∈z．
再由 π≤φ＜2π 可得 φ=π，∴函数f（x）=cos（ωx+π）=-cosωx，故其周期为

2π

ω

，最大值为1．
设图象上最高点为（x₁，1），与之相邻的最低点为（x₂，-1），则|x₂-x₁|=

T

2

=

π

ω

．
∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为

4+π2

=

( π ω )2+22

，解得ω=1，
∴函数f（x）=-cosx．
令g（x）=0，可得 f（x）=

1

2

，即 cosx=-

1

2

，∴x=2kπ+

2π

3

，或 x=2kπ+

4π

3

，k∈z．
再由x∈[0，5π），可得 x=

π

3

、

2π

3

、

8π

3

、

10π

3

、

14π

3

，故函数g（x）的零点有5个，
故选C．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、最大值，求函数的零点，属于中档题．