Question

【题目】已知过原点的两条互相垂直的直线与抛物线相交于不同于原点的两点，且轴，的面积为16.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）已知点，，为抛物线上不同的三点，若，试问：直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）过定点

【解析】

（1）不妨设点在第一象限，由轴知直线，的方程分别为，.代入抛物线方程得的坐标,由解得值，得到答案;(2) 由（1）可得点. 设直线的方程并与抛物线联立，求出E,F的坐标，根据坐标写直线EF的方程，化简整理即可得到过的定点.

（1）不妨设点在第一象限，由题意知，直线，的倾斜角分别为，，

则直线，的方程分别为，.

代入抛物线方程得的坐标分别为，，

∴.解得.

故抛物线的标准方程为.

（2）由（1）可得点.由题意可设直线的方程为.

联立得.

则.∴，.

同理可得，.

∴直线的方程为，

即.

∴

.

故直线过定点.