Question

(本题13分)
已知f(x)＝lnx＋x²－bx.
(1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
(2)当b＝－1时，设g(x)＝f(x)－2x²，求证函数g(x)只有一个零点．

Answer 1

解:(1)∵f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，
即b≤＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴只需b≤_min　(x>0)，
∵x>0，∴＋2x≥2，当且仅当x＝时取“＝”，
∴b≤2，
∴b的取值范围为(－∞，2]．
(2)当b＝－1时，g(x)＝f(x)－2x²＝lnx－x²＋x，其定义域是(0，＋∞)，
∴g′(x)＝－2x＋1
＝－＝－，
令g′(x)＝0，即－＝0，
∵x>0，∴x＝1，
当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0，
∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，
∴当x≠1时，g(x)<g(1)，即g(x)<0，当x＝1时，g(x)＝0.
∴函数g(x)只有一个零点．

略