Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a，b，c成等比数列．
（1）若

sinA

sinC

-1=

a-b

a+c

，求角A的大小及

bsinB

c

的值；
（2）求

sinB

sinA

的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,等比数列的性质

专题：计算题,解三角形

分析：（1）由a，b，c成等比数列，得b²=ac，由正弦定理可把

sinA

sinC

-1=

a-b

a+c

化为

a

c

-1=

a-b

a+c

，整理可得a²-c²=ac-bc，联立两式结合余弦定理可求cosA，从而得A；由正弦定理，得sinB=

bsinA

a

，代入

bsinB

c

可求；
（2）设成等比数列a，b，c的公比为q，由三角形的边长性质，得

a+aq＞aq2 aq+aq2＞a aq2+a＞aq

，由此可求q范围；

解答： 解：（1）∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，

sinA

sinC

-1=

a-b

a+c

，由正弦定理，得

a

c

-1=

a-b

a+c

，整理，得a²-c²=ac-bc，
把b²=ac代入上式，得a²-c²=b²-bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

1

2

，A=60°；
由正弦定理，得

b

sinB

=

a

sinA

，∴sinB=

bsinA

a

，
∴

bsinB

c

=

b2sinA

ac

=

acsinA

ac

=sinA=

3

2

．
（2）设成等比数列a，b，c的公比为q，
由三角形的边长性质，得

a+b＞c b+c＞a c+a＞b

，即

a+aq＞aq2 aq+aq2＞a aq2+a＞aq

，解得

5 -1

2

＜q＜

5 +1

2

，
由正弦定理知，

sinB

sinA

=

b

a

=q，
∴

sinB

sinA

的取值范围是（

5 -1

2

，

5 +1

2

）．

点评：该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力．