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已知函数f(x)=|x|,g(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=x(x+1),则方程f(x)+g(x)=1有
 
个实根(若有相同的实根,算一个).
分析:先根据条件求出函数g(x)的解析式,原方程的实数根即 g(x)=1-f(x)的根,本题即求函数 y=g(x)和 y=1-f(x)的图象的交点个数,结合图象,得出结果.
解答:解:∵函数f(x)=|x|,g(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=x(x+1),
设 x≥0,则-x≤0,g(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)=-g(x),∴g(x)=x(1-x).
综上,g(x)=
x(x+1) ,x<0
x(1-x)  , x≥0
,方程f(x)+g(x)=1的根,即 g(x)=1-f(x)的根,
即函数 y=g(x)和 y=1-|x|的图象的交点个数,显然,两个函数的图象有2个交点,如图所示:
故答案为 2.
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点评:本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式,方程根的个数的判断方法,体现了数形结合、转化的数学思想.
练习册系列答案
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已知函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若函数y=f(2x+
π
4
)
的图象关于直线x=
π
6
对称,求φ的值.

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1
x

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m
2
]
,若g(x)在区间(1,3)上总不单调,求实数m的范围.

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已知函数f(x)=x2-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{
1
f(n)
}
的前n项和为Sn,则S2010的值为(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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