Question

过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆上方部分一点P，Q、R分别是椭圆的上顶点、右顶点，O是原点，OP∥QR，|FR|=2+

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l：y=2x+m交椭圆于A、B两点，M（0，1），若AM⊥RB，求l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

b2 a b = c a a+c=2+ 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）联立

y=2x+m x2 4 + y2 2 =1

，得9x²+8mx+2m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线方程．

解答： 解：（1）由已知得|PF|=

b2

a

，|OF|=c，|OQ|=b，|OR|=a，
∵OP∥QR，|FR|=2+

2

，
∴

b2 a b = c a a+c=2+ 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=c=

2

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）联立

y=2x+m x2 4 + y2 2 =1

，得9x²+8mx+2m²-4=0，
∵直线l：y=2x+m交椭圆于A、B两点，
∴△=64m²-36（2m²-4）＞0，解得m²≤18，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

8m

9

，x1x2=

2m2-4

9

，
∵M（0，1），R（2，0），
∴

AM

=（-x₁，1-y₁），

RB

=（x₂-2，y₂），
∵AM⊥RB，∴

AM

•

RB

=-x₁x₂+2x₁+y₂-y₁y₂=0，
∴（2-2m）（x₁+x₂）+m-5x₁x₂-m²=0，
∴(2-2m)•(-

8m

9

)-5•

2m2-4

9

+m-m2=0，
解得m=-4或m=

5

3

，
∴直线方程为y=2x-4或y=2x+

5

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量知识的合理运用．