Question

（2013•威海二模）在一只黑色的布袋中装有4个大小、颜色、质地完全相同的小球，标号分别为1，2，3，4，现在从布袋中随机摸取2个小球，每次摸取一个，不放回，其标号依次记为x，y，设ξ=sin

y

x

π．
（Ⅰ）若ξ的取值组成集合A，求集合A；
（Ⅱ）求使关于x的方程x²-3ξx+1=0有实数根的概率．

Answer 1

分析：（I）列举出从布袋中随机摸取2个小球，每次摸取一个，不放回，其标号依次记为x，y的所有情况，进而求出各种情况下ξ的取值情况，进而由集合元素的互异性，去年重复元素，可得集合A
（II）若关于x的方程x²-3ξx+1=0有实数根，则△=（3ξ）²-4≥0，结合（I）中结论，可得方程有根对应的基本事件个数，进而得到使关于x的方程x²-3ξx+1=0有实数根的概率

解答：解：（Ⅰ）设取出的2个小球的标号对应数对（x，y），则（x，y）的所有情况为：
（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12种，----（2分）
当x=1时，ξ=sin

y

x

π的值为0，0，0；-----------------（3分）
当x=2时，ξ=sin

y

x

π的值为1，-1，0；-----------------（4分）
当x=3时，ξ=sin

y

x

π的值为

3

2

，

3

2

，-

3

2

；-----------------（5分）
当x=4时，ξ=sin

y

x

π的值为

2

2

，1，

2

2

，-----------------（6分）
所以集合A={0，1，-1，

2

2

，

3

2

，-

3

2

}-----------------（7分）
（Ⅱ）若关于x的方程x²-3ξx+1=0有实数根，
则有△=（3ξ）²-4≥0，
∴ξ≥

2

3

或ξ≤-

2

3

-----------------（8分）
由（Ⅰ）知，ξ=±1，±

3

2

，

2

2

-----------------（9分）
其中ξ=±1有3种情况，ξ=±

3

2

有3种情况，ξ=

2

2

有两种情况----------------（10分）
所以P(△≥0)=P(ξ=±1)+P(ξ=±

3

2

)+P(ξ=

2

2

)=

3

12

+

3

12

+

2

12

=

2

3

．
∴关于x的方程x²-3ξx+1=0有实数根的概率为

2

3

．----------------（12分）

点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，列举法求概率，熟练掌握古典概型及其概率计算方法和步骤是解答的关键．