Question

【题目】(1)求经过直线l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程．

(2)求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）方法一：先求得直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0，将交点代入直线方程得到参数c的值；方法二：设过直线l1与l2交点的直线方程为x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0，整理后为(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，再由直线的斜率为-2，得到＝－2，解得λ的值，即可得到结果；（2）将原式子整理得(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0，由于m取值的任意性，使得m的系数为0即可.

(1)方法一：由得

∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0，

把(0,1)代入所求的直线方程，得c＝－1，

故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.

方法二：设过直线l1、l2交点的直线方程为x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，

即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，

由题意可知，＝－2，解得λ＝，

∴所求直线方程为x＋y－＝0，即2x＋y－1＝0.

(2)将已知方程以m为未知数，整理得(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.

由于m取值的任意性，

由解得

∴不论m取什么实数，所给的直线都经过一个定点(2，－3)