Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）设二面角P-AB-C的大小为θ，θ∈[

π

6

，

π

2

)，求二面角B-AP-C的余弦值的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先 取AB中点D，连接PD，CD；根据AC=BC以及AP=BP可以得到AB⊥平面PCD进而证得PC⊥AB；
（Ⅱ）先根据二面角P-AB-C的平面角为∠PDC求出CD=

2

，PC=

2

tanθ，再根据∠ACB=90°以及PC⊥AB，证得BC⊥平面PAC，作CM⊥PA，连BM，二面角B-AP-C的平面角为∠BMC，通过求三边的长度，结合角θ的范围在三角形BMC中即可求出二面角B-AP-C的余弦值的范围．

解答：（Ⅰ）证明  取AB中点D，连接PD，CD．
∵AP=BP，
∴PD⊥AB．
∵AC=BC，
∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥AB．
（2）解：由（1）知，二面角P-AB-C的平面角为∠PDC，
∵AC=BC=2，∠ACB=90°，
∴CD=

2

，PC=

2

tanθ，
根据，∠ACB=90°以及PC⊥AB，可得BC⊥平面PAC，作CM⊥PA，连BM，
则二面角B-AP-C的平面角为∠BMC，BC=2，
又CM=

PC•AC

PA

=

2tanθ

2+tan2θ

，
∴BM=

CM 2+BC 2

=

4+( 2tanθ 2+tan 2θ )2

=

2 2(1+tan2θ)

2+tan 2θ

；
∵θ∈[

π

6

，

π

2

）
∴tanθ≥

3

3

．
∴cos∠BMC=

2 tanθ

2 tan2θ+1

=

2

2

tan2θ tan2θ+1

=

2

2

1 1+ 1 tan2θ

∈[

2

4

，

2

2

)．

点评：本题主要考查线线垂直的证明以及二面角的平面角及求法．解决第二问的关键在于先根据二面角P-AB-C的平面角为∠PDC求出CD=

2

，PC=

2

tanθ，再根据∠ACB=90°以及PC⊥AB，证得BC⊥平面PAC，作CM⊥PA，连BM，得到二面角B-AP-C的平面角为∠BMC．