Question

9．设a为非零实数，偶函数f（x）=x²+a|x-m|+1，x∈R在区间（1，2）上只有一个零点，则实数a的取值范围为-$\frac{5}{2}$＜a＜-2．

Answer 1

分析 根据函数是一个偶函数，利用偶函数的定义，写出关系式得到m的值是0，根据在区间（1，2）上存在唯一零点，得到f（1）×f（2）＜0且在（1，2）上为单调函数，求出结果．

解答 解：∵f（x）=x²+a|x-m|+1是偶函数，
f（-x）=-（x）²+a|-x-m|+1，
f（x）=x ²+a|x-m|+1，
若f（x）=f（-x），
则|x+m|=|x-m|
2xm=-2xm
∴m=0
∴f（x）=x²+a|x|+1，
x∈（1，2），f（x）=x²+ax+1，若其在区间（1，2）上存在唯一零点
f（1）×f（2）＜0且在（1，2）上为单调函数
∴（2+a）（5+2a）＜0
∴-$\frac{5}{2}$＜a＜-2
故答案为：-$\frac{5}{2}$＜a＜-2．

点评 本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是先写出符合偶函数的定义的式子，整理出式子中的字母系数的值．