Question

11．设函数f（x）=a^x+（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x²+x）+f（t-2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，设g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为-1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为定义在R上的奇函数便有f（0）=0，从而可以求出k=0；
（2）先得出f（x）=a^x-a^-x，根据f（1）＞0便可得出a＞1，从而判断出f（x）为增函数，从而由原不等式可得x²-x+t＞0恒成立，这便有△=1-4t＜0，这样便可得出t的取值范围；
（3）由f（1）=$\frac{3}{2}$便可求出a=2，从而可以得到g（x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，可设t=f（x）=2^x-2^-x$（t≥\frac{3}{2}）$，可令h（t）=（t-m）²+2-m²，该二次函数的对称轴为t=m，讨论m：$m≥\frac{3}{2}$时，t=m时，h（t）取到最小值2-m²=-1，这样便可求出m=$\sqrt{3}$；m$＜\frac{3}{2}$时，t=$\frac{3}{2}$时，h（t）取到最小值$\frac{17}{4}-3m=-1$，得到m=$\frac{7}{4}$，不满足m$＜\frac{3}{2}$，从而便得到m的值只有一个为$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数；
∴f（0）=0；
∴k=0；
（2）f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）；
由f（1）＞0得$a-\frac{1}{a}＞0$；
∴a＞1；
∴a^x单调递增，a^-x单调递减；
故f（x）在R上单调递增；
∵f（-x）=-f（x）；
∴不等式化为f（x²+x）＞f（2x-t）；
∴x²+x＞2x-t；
∴x²-x+t＞0恒成立；
∴△=1-4t＜0；
∴t的取值范围为$\{t|t＞\frac{1}{4}\}$；
（3）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，∴$a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$；
即2a²-3a-2=0；
∴a=2，或a=$-\frac{1}{2}$（舍去）；
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2；
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由（2）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数；
∵x≥1，∴t≥f（1）=$\frac{3}{2}$；
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²（t≥$\frac{3}{2}$）
①若m≥$\frac{3}{2}$，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-1，∴m=$±\sqrt{3}$，∴m=$\sqrt{3}$；
②若m＜$\frac{3}{2}$，当t=$\frac{3}{2}$时，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-1，解得m=$\frac{7}{4}＞\frac{3}{2}$，舍去；
综上可知m=$\sqrt{3}$．

点评 考查奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时，f（0）=0，指数函数的单调性，以及增函数的定义，一元二次不等式恒成立时，判别式△的取值情况，二次函数的单调性，根据单调性及取得顶点情况求二次函数的最值．