Question

已知函数的图象过点，将f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）图象．
（1）求g（x）的表达式，并求出g（x）的最小正周期；
（2）写出函数g（x）的单调增区间；
（3）求g（x）在上的值域．

Answer 1

解：（1）把点代入函数f（x）的解析式可得 2==2a，∴a=1．
故 =-2（1+cos2x）+2sin2x+2=4（-cos2x+sin2x）=4sin（2x-）．
将f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）=4sin[2（x+）-]=4cos（2x-）．
故函数y=g（x）的最小正周期等于=π．
（2）由 2kπ-π≤2x-≤2kπ，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函数g（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
（3）由（2）可得g（x）在 上 单调地增，在上单调递减，
故函数g（x）的最大值为g（）=4cos0=4．
又g（-）=4cos（--）=4cos=-2，g（）=4cos=0，
故g（x）的值域为[-2，4]．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为4sin（2x-），向左平移个单位后得到函数y=g（x）=4cos（2x-），由此求得函数y=g（x）的最小正周期．
（2）令2kπ-π≤2x-≤2kπ，k∈z，解出x的范围，即可得到函数g（x）的单调增区间．
（3）由于g（x）在上 单调地增，在 上单调递减，故函数g（x）的最大值为g（），最小值为 g（-）和g（）中的较小者，从而得到g（x）的值域．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，余弦函数的定义域、值域，属于中档题．