[题目](1)已知P是矩形ABCD所在平面上的一点.则有.试证明该命题.(2)将上述命题推广到P为空间上任一点的情形.写出这个推广后的命题并加以证明.(3)将矩形ABCD进一步推广到长方体.并利用(2)得到的命题建立并证明一个新命题. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】（1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一点，则有.试证明该命题.

（2）将上述命题推广到P为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明.

（3）将矩形ABCD进一步推广到长方体，并利用（2）得到的命题建立并证明一个新命题.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）如图①，设在直角坐标平面中，矩形ABCD的顶点坐标分别为，点是直角坐标平面上的任意一点，则

故.

（2）推广命题：若棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，则有.

证明：如图②，设棱锥的底面ABCD在空间直角坐标系的平面上，矩形ABCD的顶点坐标为，设P点坐标为，则

，

故.

（3）再推广命题：设是长方体，P是空间上任意一点，则

证明：如图③，由（2）中定理可得

，

所以.

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232 321 230 023 123 021 132 220 001

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