Question

（2012•石景山区一模）如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P-ABCD体积的最大值是（　　）

• A．24

  3

• B．16
• C．48
• D．144

Answer 1

分析：本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将四棱锥的体积用t表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项．

解答：解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．
作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA，∴PA²-t²=4PA²-（6-t）² ，解得PA²=12-4t．
∴PM=

12-4t-t2

，即四棱锥的高为

12-4t-t2

，底面为直角梯形，S=

1

2

×(4+8)×6=36
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×36×

12-4t-t2

=12

16-(t+2)2

≤12×

16

=48，
即四棱锥P-ABCD体积的最大值为48，
故选C．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解答本题，关键是将由题设条件得出三角形的性质、：两邻边的值有2倍的关系，第三边长度为6，引入一个变量，从而利用函数的最值来研究体积的最值，是将几何问题转化为代数问题求解的思想，属中档题．