【题目】设函数f(x)=aexlnx+ ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.
(1)求a、b;
(2)证明:f(x)>1.
【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)= +
,
由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,
故a=1,b=2;
(2)证明:由(1)知,f(x)=exlnx+ ,
∵f(x)>1,∴exlnx+ >1,∴lnx>
﹣
,
∴f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣ ,设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx,
∴当x∈(0, )时,g′(x)<0;当x∈(
,+∞)时,g′(x)>0.
故g(x)在(0, )上单调递减,在(
,+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(
)=﹣
.
设函数h(x)=xe﹣x﹣ ,则h′(x)=e﹣x(1﹣x).
∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,
故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣ .
综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1
【解析】(1)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(2)由(1)知,f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣ ,设函数g(x)=xlnx,函数h(x)=
,只需证明g(x)min>h(x)max , 利用导数可分别求得g(x)min , h(x)max;
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【题目】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是.
(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;
(Ⅱ)用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量
的概率分布及数学期望
;
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【题目】甲、乙、丙人投篮,投进的概率分别是
,
,
.
(1)现人各投篮
次,求
人至少一人投进的概率;
(2)用表示乙投篮
次的进球数,求随机变量
的概率分布及数学期望
和方差
.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2﹣an=λ
(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
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【题目】某地区100位居民的人均月用水量(单位:)的分组及各组的频数如下:
,4;
,8;
,15;
,22;
,25;
,14;
,6;
,4;
,2.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图,并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数;
(3)当地政府制定了人均月用水量为的标准,若超出标准加倍收费,当地政府说,
以上的居民不超过这个标准,这个解释对吗?为什么?
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
的离心率是
,且直线
:
被椭圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与圆
:
相切:
(i)求圆的标准方程;
(ii)若直线过定点
,与椭圆
交于不同的两点
、
,与圆
交于不同的两点
、
,求
的取值范围.
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【题目】随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
分组 | 频数 | 频率 |
[25,30] | 3 | 0.12 |
(30,35] | 5 | 0.20 |
(35,40] | 8 | 0.32 |
(40,45] | n1 | f1 |
(45,50] | n2 | f2 |
(1)确定样本频率分布表中n1 , n2 , f1和f2的值;
(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;
(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.
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【题目】在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, ),若S1 , S2 , S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )
A.S1=S2=S3
B.S2=S1且S2≠S3
C.S3=S1且S3≠S2
D.S3=S2且S3≠S1
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