Question

15．设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{1}{16}$a）的定义域为R，命题q：不等式$\sqrt{3x+1}$＜1+ax对一切正实数x均成立，如果命题p∨q为真，p∧q为假，则实数a的取值范围（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，2）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，$\frac{3}{2}$]
• D． [$\frac{3}{2}$，2]

Answer 1

分析 由二次函数和不等式的性质分别可得p真和q真时的a的取值范围，再由建议逻辑可得得p真q假，或p假q真，由集合的运算可得．

解答 解：p为真等价于ax²-x+$\frac{1}{16}$a＞0恒成立，
当a=0时不合题意，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2；
q为真等价于a＞$\frac{\sqrt{3x+1}-1}{x}$=$\frac{3}{1+\sqrt{3x+1}}$对一切x＞0恒成立，
又 $\sqrt{3x+1}$+1＞2，∴$\frac{3}{1+\sqrt{3x+1}}$＜$\frac{3}{2}$，∴a≥$\frac{3}{2}$，
又命题p∨q为真，p∧q为假可得p真q假，或p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，综合可得$\frac{3}{2}$≤a≤2，
故选：D．

点评 本题考查复合命题的真假，涉及恒成立问题，属基础题．