Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$．
（I）求函数f（x）在区间[e${\;}^{\frac{1}{4}}$，e]上的最值；
（II）若g（x）=f（x）+$\frac{4{m}^{2}-4mx}{lnx}$（其中m为常数），且当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，设函数g（x）的3个极值点为a，b，c，且a＜b＜c，证明：0＜2a＜b＜1＜c，并讨论函数g（x）的单调区间（用a，b，c表示单调区间）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，令h（x）=2lnx+$\frac{2m}{x}$，根据函数极值点的个数，证明结论即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{{ln}^{2}x}$，
令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{e}$，列表：

x	[${e}^{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，e]
f′（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

所以函数f（x）在[${e}^{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{e}$]上单调递减，在[$\sqrt{e}$，e]上单调递增．
∵f（$\sqrt{e}$）=4$\sqrt{e}$，f（e）=e²＞4$\sqrt{e}$，
∴函数f（x）的最大值为e²，最小值为2e；
（Ⅱ）由题意：g（x）=$\frac{{x}^{2}-4mx+{4m}^{2}}{lnx}$，
g′（x）=$\frac{（x-2m）（2lnx+\frac{2m}{x}-1）}{{ln}^{2}x}$，
令h（x）=2lnx+$\frac{2m}{x}$-1，h′（x）=$\frac{2x-2m}{{x}^{2}}$，
可以得到函数h（x）在（0，m）上单调递减，在（m，+∞）上单调递增；
因为函数g（x）的3个极值点，
又h（x）min=h（m）=2lnm+1＜0，
h（2m）=2ln2m＜0，h（1）=2m-1＜0，
从而函数g（x）的三个极值点中，有一个为2m，有一个小于m，有一个大于1，
因为3个极值点为a，b，c，且a＜b＜c，
所以a＜m＜2m=b＜1＜c，所以2a＜2m=b，
故0＜2a＜b＜1＜c，
函数g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，b）上单调递增，
在（b，1）上单调递减，在（1，c）上单调递减，在 （c，+∞）上单调递增．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．