Question

如图，空间直角坐标系O-xyz中，已知A（1，0，0），B（0，2，0），现将△AOB按向量

p

=(0， -1， 

3

)平移到△A'O'B'．
（Ⅰ）写出三点A'、O'、B'的坐标；
（Ⅱ）求证：AB'⊥BO'；
（Ⅲ）求二面角A-BB'-O的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先分别写出

OA′

，

OB′

，

OO/

的坐标，即可得到点A'、O'、B'的坐标；
（Ⅱ） 要证AB'⊥BO'；只需证明对应的数量积为0即可；
（Ⅲ） 先求平面的法向量，再利用向量的数量积公式求面面角．

解答：解：（Ⅰ）

OA′

=

OA

+

AA′

=

OA

+

p

=（1，0，0）+（0，-1，

3

)=(1，-1，

3

)，
同理

OB′

=(0，2，0）+（0，-1，

3

)=（0，1，

3

)，又

OO′

=

p

=(0，-1，

3

)，
所以A'（1，-1，

3

)，O'（0，-1，

3

)，B'（0，1，

3

)；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）

AB′

=(0，1，

3

)-(1，0，0）=（-1，1，

3

)，

BO′

=(0，-1，

3

)-(0，2，0）=（0，-3，

3

)，
而

AB′

•

BO′

=(-1)×0+1×(-3)+

3

×

3

=0，所以

AB′

⊥

BO′

，即AB'⊥BO'；
（Ⅲ）设平面ABB'的法向量为

m

=(x，y，z），则

m

⊥

BB′

且

m

⊥

AB′

，
所以

m

•

BB′

=0且

m

•

AB′

=0，即

-y+ 3 z=0 -x+y+ 3 z=0

，取z=1，得x=2

3

，y=

3

，
所以

m

=(2

3

，

3

，1）．又平面OBB'的一个法向量是

n

=(1，0，0），cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2 3

(2 3 )2+( 3 )2+1

=

3

2

，
所以＜

m

，

n

＞=30°，从而二面角A-BB'-O的大小为30°．

点评：本题的考点是用空间向量求平面角的夹角，主要考查空间向量的运用，考查向量的数量积公式，属于中档题．