Question

19．设函数f（x）=|2^x-1|，实数a＜b，且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-∞，0）
• C． （0，+∞）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 将函数解析式化为分段函数的形式，进而根据实数a＜b，且f（a）=f（b），结合指数函数的图象和性质，分类讨论，可得a+b的取值范围．

解答 解：∵f（x）=|2^x-1|=$\left\{\begin{array}{l}1-{2}^{x}，x≤0\\{2}^{x}-1，x＞0\end{array}\right.$，
若a＜b≤0，由f（a）=f（b）得1-2^a=1-2^b，得a=b，与a＜b矛盾；
若0＜a＜b，由f（a）=f（b）得2^a-1=2^b-1，得a=b，与a＜b矛盾；
若a＜0＜b，由f（a）=f（b）得1-2^a=2^b-1，得2^a+2^b=2，
而2^a+2^b＞2$\sqrt{{2}^{a}•{2}^{b}}$=2$\sqrt{{2}^{a+b}}$，
∴2^a+b＜1=2⁰，
∴a+b＜0，
故a+b的取值范围是（-∞，0），
故选：B

点评 本题考查的知识点是分类函数的应用，指数函数的图象和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．