Question

已知函数，当时，恒有．
(1)求证：是奇函数；
(2)如果为正实数，，并且，试求在区间[－2,6]上的最值．

Answer 1

(1)证明见解析；（2）最大值为1，最小值为－3．．

解析试题分析：解题思路：（1）利用奇函数的定义进行证明；（2）先证明的单调性，再求在的最值．
规律总结：（1）证明函数奇偶性的步骤：①验证函数定义域是否关于原点对称，②判断与的关系，③下结论；（2）先利用函数单调性的定义证明函数的单调性，再根据单调性求最值．注意点：判定或证明函数的奇偶性时，一定不要忘记验证函数的定义域是否关于原点对称．
试题解析： (1)函数定义域为，其定义域关于原点对称，
，令，
，令，
，得．
，得，为奇函数．
(2)设．
则．
,,，即在上单调递减．
为最大值，为最小值．
，
．
∴在区间上的最大值为1，最小值为－3．
考点：1．函数的奇偶性；2．函数的最值．