如图.在矩形ABCD中.OA=5.AB=4.点D为边AB上一点.将△BCD沿直线CD折叠.使点B恰好落在OA上的点E处.分别以OC.OA所在的直线为x轴.y轴建立平面直角坐标系．(1)求OE的长及经过O.D.C三点抛物线的解析式,(2)一动点P从点C出发.沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动.同时动点Q从E点出发.沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图，在矩形ABCD中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；
（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．

解答解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE=3，
设AD=m，则DE=BD=4-m，
∵OE=3，
∴AE=5-3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD²+AE²=DE²，即m²+2²=（4-m）²，解得m=$\frac{3}{2}$，
∴D（-$\frac{3}{2}$，-5），
∵C（-4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），
∴-5=-$\frac{3}{2}$a（-$\frac{3}{2}$+4），解得a=$\frac{4}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{4}{3}$x（x+4）=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x；
（2）∵CP=2t，
∴BP=5-2t，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，$\left\{\begin{array}{l}{DP=DQ}\\{BD=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP=EQ，
∴5-2t=t，
∴t=$\frac{5}{3}$；
（3）∵抛物线的对称为直线x=-2，
∴设N（-2，n），
又由题意可知C（-4，0），E（0，-3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为$\frac{0+（-2）}{2}$=-1，线段CM中点横坐标为$\frac{m-4}{2}$，
∵EN，CM互相平分，
∴$\frac{m-4}{2}$=-1，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y=$\frac{4}{3}$×2²+$\frac{16}{3}$×2=16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为$\frac{m+0}{2}$，线段CN中点横坐标为$\frac{-2-4}{2}$=-3，
∵EN，CM互相平分，
∴$\frac{m}{2}$=-3，解得m=-6，
又∵M点在抛物线上，
∴y=$\frac{4}{3}$×（-6）²+$\frac{16}{3}$×（-6）=16，
∴M（-6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（-2，-$\frac{16}{3}$）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（-6，16）或（-2，-$\frac{16}{3}$）．

点评本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

18．设A={x|x=2n+1，n∈Z}，则下列正确的是（　　）

A．

∅∈A

B．

2∈∅

C．

3∈A

D．

{2}∈A

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，把{S_n}的前n项和称为“和谐和”，用H_n来表示，对于a_n=3ⁿ，其“和谐和”H_n=（　　）

A．

$\frac{{{3^{n+2}}-6n-9}}{4}$

B．

$\frac{{{3^{n+1}}-6n-9}}{4}$

C．

$\frac{{{3^{n+1}}+6n-9}}{4}$

D．

$\frac{{{3^n}+6n-9}}{4}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

16．数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，则它的前8项和S₈=2．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

3．已知圆M与x轴相切且过点（0，2），直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出直线l的普通方程与圆M的圆心的轨迹方程；
（2）P为直线l上任意一点，Q为C上的任意一点，求P、Q两点间距离的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

13．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是非零向量，先给出以下四个命题：
（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞∈（0，$\frac{π}{2}$）；
（2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{2}$；
（3）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞∈（$\frac{π}{2}$，π）；
（4）|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|?＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=π．
其中正确的命题共有1个．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=pn²-n（p∈R，且p≠0），且a₂，a₃，a₅依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）若数列{b_n}满足b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

17．已知全集U=R，函数y=$\sqrt{lo{g}_{2}x}$的定义域为A，集合B={x|1≤2^x＜4}．
（1）求集合A，B；
（2）求A∩B，A∪∁_UB．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

18．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），点A在双曲线C上，且点A与点B关于原点对称，点P是双曲线C上异于A的一点，若PA，PB的连线的斜率分别为k₁，k₂（均不为0），若$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则双曲线C的离心率为$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学