Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD= ．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求 的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，
∵CD=AC= ，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD．
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），
则 ， ，
设 为平面PCD的法向量，
则由 ，得 ，则 ．
设PB与平面PCD的夹角为θ，则 = ；
（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设 ，M（0，y1 ， z1），
由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1）， ，B（1，1，0）， ，
则有 ，可得M（0，1﹣λ，λ），
∴ ，
∵BM∥平面PCD， 为平面PCD的法向量，
∴ ，即 ，解得 ．
综上，存在点M，即当 时，M点即为所求．

【解析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量 的坐标，再求出平面PCD的法向量 ，设PB与平面PCD的夹角为θ，由 求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设 ，M（0，y1 ， z1），由 可得M（0，1﹣λ，λ）， ，由BM∥平面PCD，可得
，由此列式求得当 时，M点即为所求．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系的相关知识点，需要掌握直线在平面内—有无数个公共点；直线与平面相交—有且只有一个公共点；直线在平面平行—没有公共点才能正确解答此题．