Question

给出下列四个命题：
①若a，b，c成等比数列，则b²=ac的逆命题是真命题；
②f^′（x₀）=0是f（x）在x=x₀处取得极值的既不充分也不必要条件；
③函数f（x）=|2sinxcosx|x||的最小正周期为

π

2

；
④若数列{a_n}是递减数列且a_n=-n²+kn+π（n∈N^*），则k∈（-∞，3）．
其中真命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：对于①先求出逆命题，然后取a=b=c=0时，结论不成立，说明命题的真假，对于②，抓住取极值的充要条件进行判定即可，对于③结合函数的奇偶性求解函数的周期，可判定真假，对于④，根据数列的单调性建立关系式，可求出k的范围．

解答：解：①逆命题：“若b²=ac，则a，b，c成等比数列”，当a=b=c=0时，结论不成立，故命题为假；
②由f'（x₀）=0 推不出极值点，因为有可能是拐点（说明不充分），f（x）在x=x₀处取得极值，但函数f（x）在R上不一定可导，故不能推出f^′（x₀）=0，故Shiite既不充分也不必要条件，故命题为真；
③函数g（x）=2sinxcosx|x|的最小正周期为π，而g（x）为奇函数，则f（x）=|g（x）|=|2sinxcosx|x||的最小正周期为

π

2

，故命题为真；
④根据单调性可知a_n+1＜a_n恒成立，则-（n+1）²+k（n+1）+π＜-n²+kn+π恒成立，即k＜2n+1，又由n∈N+则k＜3，故
命题为真．
故选C．

点评：本题主要考查了命题的真假判断与应用，以及函数在某点取得极值的条件和三角函数的周期等知识，属于中档题．