Question

【题目】试在①，②，③三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：

如图，在四棱锥中，，底ABCD为菱形，若__________，且，异面直线PB与CD所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】详见解析；余弦值为

【解析】

先分析出只能选择①③，再进行证明和计算.

若选②：由平面ABCD知，又，

所以面PAC，所以，

所以，，

这与底面ABCD为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③.

下面证明：平面ABCD，

因为四边形ABCD为菱形，所以.

因为，，

所以平面APC.

又因为平面APC，所以.

因为，O为AC中点，所以.

又，所以平面ABCD，

因为面ABCD，以O为坐标原点，以，，的方向分别作为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，

因为，所以为异面直线PB与CD所成的角，

所以.

在菱形ABCD中，设，

因为，所以，，

设，则，.

在中，由余弦定理得：

，

所以，解得，

所以，，，.

设为平面ABP的法向量，

，，

由可得：，

令得.

设为平面CBP的法向量，

，，

由可得：，

令得：.

设二面角的平面角为，

所以，所以二面角的余弦值为.