Question

12．数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，则数列{b_n}的前n项和S${\;}_{{n}_{\;}}$等于（　　）

• A． $\frac{5}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$
• B． 5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$
• C． $\frac{2n+1}{{2}^{n}}+1$
• D． $\frac{2n+5}{{2}^{n}}$-1

Answer 1

分析 根据通项公式为b_n的特点，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求出S_n．

解答 解：由题意得，b_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
则S_n=$\frac{3}{{2}^{1}}+\frac{5}{{2}^{2}}+\frac{7}{{2}^{3}}…+\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+\frac{7}{{2}^{4}}…+\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②得，$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{3}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{5}{2}-\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$，
所以S_n=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$，
故选：B．

点评 本题考查等比数列的前n项和公式，以及错位相减法求数列的和，考查化简、变形能力．