Question

5．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为$\frac{3}{5}$，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了4次，求：
（1）其中只在第一、三次2次击中目标的概率；
（2）设X为击中目标次数，试求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）该射手射击了4次，其中只在第一、三次2次击中目标，是在确定的情况下击中目标2次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，由此能求出只在第一、三次2次击中目标的概率．
（2）根据题意，X=0，1，2，3，4，随机变量X的分布列符合二项分布$X～B（4，\frac{3}{5}）$，由此能出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 （本小题满分18分）
解：（1）该射手射击了4次，其中只在第一、三次2次击中目标，
是在确定的情况下击中目标2次，也即在第二、四次没有击中目标，
所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，
故所求概率为$P=\frac{3}{5}（1-\frac{3}{5}）\frac{3}{5}（1-\frac{3}{5}）=\frac{36}{625}$．…（7分）
（2）根据题意，X=0，1，2，3，4，每次射击击中目标的概率为$\frac{3}{5}$，未击中目标的概率为$\frac{2}{5}$
随机变量X的分布列符合二项分布，即$X～B（4，\frac{3}{5}）$…（11分）
P（X=0）=$（\frac{2}{5}）^{4}$=$\frac{16}{625}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{3}{5}）（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{96}{625}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}（\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{216}{625}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{3}{5}）^{3}（\frac{2}{5}）$=$\frac{216}{625}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{3}{5}）^{4}=\frac{81}{625}$，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{81}{625}$

…（16分）
∴X的数学期望为$EX=4×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{5}$．…（18分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．