【题目】在平面直角坐标系中,点,分别是椭圆 的左、右焦点,过点且与轴垂直的直线与椭圆交于,两点.若为锐角,则该椭圆的离心率的取值范围是_____
【答案】
【解析】
由题设知F1(﹣c,0),F2(c,0),A(﹣c,),B(﹣c,),由△是锐角三角形,知tan∠AF1 F2<1,所以1,由此能求出椭圆的离心率e的取值范围.
解:∵点F1、F2分别是椭圆1(a>b>0)的左、右焦点,
过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点,
∴F1(﹣c,0),F2(c,0),A(c,),B(c,),
∵△是锐角三角形,
∴∠AF1 F2<45°,∴tan∠AF1 F2<1,
∴1,
整理,得b2<2ac,
∴a2﹣c2<2ac,
两边同时除以a2,并整理,得e2+2e﹣1>0,
解得e1,或e1,(舍),
∴0<e<1,
∴椭圆的离心率e的取值范围是(1,1).
故答案为:(1,1).
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【题目】已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x);
(2)若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点.
(1)求圆的方程;
(2)经过点的直线与圆相交于,两点,若圆在,两点处的切线互相垂直,求直线的方程.
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【题目】如图,从一个面积为的半圆形铁皮上截取两个高度均为的矩形,并将截得的两块矩形铁皮分别以,为母线卷成两个高均为的圆柱(无底面,连接部分材料损失忽略不计).记这两个圆柱的体积之和为.
(1)将表示成的函数关系式,并写出的取值范围;
(2)求两个圆柱体积之和的最大值.
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【题目】定义在R上的函数和二次函数满足:,,
(1)求和的解析式;
(2)若对于,,均有成立,求a的取值范围;
(3)设,在(2)的条件下,讨论方程的解的个数.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)若函数的最大值是,求的值;
(3)已知,若存在两个不同的正数,当函数的定义域为时,的值域为,求实数的取值范围.
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【题目】已知椭圆C的焦点为(,0),(,0),且椭圆C过点M(4,1),直线l:不过点M,且与椭圆交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求证:直线MA,MB与x轴总围成一个等腰三角形.
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