Question

已知函数f（x）是定义域为（-1，1）上的奇函数也是减函数
（1）若x∈（-1，0）时，f（x）=-x+1，求f（x）；
（2）若f（1-a）＜f（a²-1），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x∈（0，1），则-x∈（-1，0），根据已知表达式可求得f（-x），由奇函数性质可得f（-x）与f（x）的关系，从而可求得f（x）；由f（-0）=-f（0）可求得f（0），从而可得结论；
（2）利用函数f（x）的单调性可去掉不等式f（1-a）＜f（a²-1）中的符号“f”，从而转化为具体不等式，考虑到函数定义域，可得一不等式组，由此可得答案．

解答：解：（1）设x∈（0，1），则-x∈（-1，0），
由x∈（-1，0）时，f（x）=-x+1，得f（-x）=x+1，
又f（x）为（-1，1）上的奇函数，
所以f（-x）=-f（x），则-f（x）=x+1，
故f（x）=-x-1；
因为f（x）为（-1，1）上的奇函数，
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0，
所以f（x）=

-x+1，-1＜x＜0 0，x=0 -x-1，0＜x＜1

．
（2）因为f（x）为（-1，1）上的减函数，且f（1-a）＜f（a²-1），
所以有

-1＜1-a＜1 -1＜a2-1＜1 1-a＞a2-1

，解得0＜a＜1．
故a的取值范围是：0＜a＜1．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，属中档题，定义是解决该类问题的基本方法，解决（2）问的关键是利用单调性化抽象不等式为具体不等式．