Question

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求二面角P-AM-D的大小；
（Ⅲ）求点D到平面AMP的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CD的中点E，连接PE、EM、EA，根据面面垂直的性质可知PE⊥平面ABCD，从而AM⊥PE，由勾股定理可求得AM⊥EM，又PE∩EM=E，满足线面垂直的判定定理则AM⊥平面PEM，根据线面垂直的性质可知AM⊥PM；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知EM⊥AM，PM⊥AM，根据二面角平面角的定义可知∠PME是二面角P-AM-D的平面角，然后在三角形PME中求出此角即可；
（Ⅲ）设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则根据等体积得V_P-ADM=V_D-PAM，建立关于d的等式解之即可得到点D到平面PAM的距离．

解答：解：（Ⅰ）取CD的中点E，连接PE、EM、EA．
∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD
∴AM⊥PE（2分）
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理可求得：EM=

3

，AM=

6

，AE=3
∴EM²+AM²=AE²
∴AM⊥EM（4分）
又PE∩EM=E∴AM⊥平面PEM
∴AM⊥PM5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知EM⊥AM，PM⊥AM
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角（7分）
∴tan∠PME=

PE

EM

=

3

3

=1
∴∠PME=45°
∴二面角P-AM-D为45°（（9分））
（Ⅲ）设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则
V_P-ADM=V_D-PAM，∴

1

3

S_△ADM•PE=

1

3

S_△PAM•d
而S_△ADM=

1

2

AD•CD=2

2

在Rt△PEM中，由勾股定理可求得PM=

6

∴S_△PAM=

1

2

AM•PM=3，所以：

1

3

×2

2

×

3

=

1

3

×3×d
∴d=

2 6

3

即点D到平面PAM的距离为

2 6

3

（13分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定与性质，以及二面角的度量和点到平面的距离的求解，同时考查了空间想象能力和计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．