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    【题目】证明：存在无数个满足如下条件的整数組(a,b,c,d)：

    （1）a>c>0，(a,c)=1；

    （2）对任意给定的正整数k，恰有k个正整数n，使得(an+b)|(cn+d)。

    【答案】见解析

    【解析】

    当k=1时，，显然，a>c>0，(a,c)=1.

    当n≥2时，an+b>(a-1)n+b+1>0.

    而当n=1时，(an+b)|[(a-1)n+b+1].

    故这样的整数组(a,b,c,d)有无数个.

    当k≥2时，令a=2，b=1，c=1，，其中，p为任一奇素数，满足条件(1).

    若，设

    则.

    易知，.

    因为n为正整数，所以，.

    故恰有k个解恰有k个解.

    满足条件(2).

    又这样的奇素数p有无限个，则(a,b,c,d)有无数組.

    综上，原问题得证.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：

    用时（秒）

    男性人数

    15

    22

    14

    9

    女性人数

    5

    11

    17

    7

    附：，.

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    0.001

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    10.828

    （1）将用时低于秒的称为“熟练盲拧者”，不低于秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下列联表，并判断是否有的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？

    熟练盲拧者

    非熟练盲拧者

    男性

    女性

    （2）以这名盲拧魔方爱好者的用时不超过秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取名爱好者进行测试，其中用时不超过秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】椭圆，是椭圆的左右顶点，点P是椭圆上的任意一点.

    （1）证明：直线，与直线，斜率之积为定值.

    （2）设经过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线交于点，求证：为定值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四面体中，E是线段的中点，，，.

    （1）证明：；

    （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如下表：

    日销售量

    40

    60

    80

    100

    频数

    9

    12

    6

    3

    （1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率；

    （2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如下表：

    日销售量

    50

    70

    90

    110

    频数

    5

    15

    8

    2

    （ⅰ）设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱，这30天这款零件的总利润；

    （ⅱ）以总利润作为决策依据，该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】黑板上写有1，2，…，2014这2014个正整数.现进行如下操作：第一步划去最前面的两个数l、2，并在2014后面写上这两数的和3；第二步划去最前面的三个数3、4、5，并在最后面写上这三数的和12；如此继续下去.当第￡步时，黑板上的数不够个，停止操作.求在黑板上出现过的不同数的个数及这些不同数的和（若一个数多次出现，只计算一次）.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.

    （1）完成列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

    满意

    不满意

    总计

    男生

    30

    女生

    15

    合计

    120

    （2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值.

    参考公式：附：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    0.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产—运输—销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题.

    （1）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量（百斤）与使用堆沤肥料（千克）之间对应数据如下表

    使用堆沤肥料（千克）

    2

    4

    5

    6

    8

    产量的增加量（百斤）

    3

    4

    4

    4

    5

    依据表中的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量是多少百斤?

    （2）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位:份），制成如下表格(注:，且)；

    前8小时内的销售量（单位:份）

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    频数

    10

    x

    16

    6

    15

    13

    y

    若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求的取值范围.

    附：回归直线方程为，其中.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为（ ）

    A.B.C.D.

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