Question

已知点A（-2，0），B（2，0）
（1）过点A斜率

3

3

的直线l，交以A，B为焦点的双曲线于M，N两点，若线段MN的中点到y轴的距离为1，求该双曲线的方程；
（2）以A，B为顶点的椭圆经过点C（1，

3

2

），过椭圆的上顶点G作直线s，t，使s⊥t，直线s，t分别交椭圆于点P，Q（P，Q与上顶点G不重合）．求证：PQ必过y轴上一定点．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线、直线l的方程，联立，确定线段MN的中点的横坐标，结合A，B为焦点，即可求出双曲线的标准方程；
（2）先确定椭圆的方程，设出直线s，t的方程与椭圆方程联立，求出P，Q的坐标，可得PQ的方程，令x=0，即可得到结论．

解答：（1）解：设双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），直线l的方程为y=

3

3

(x+2)
直线代入双曲线方程，整理可得（3b²-a²）x²-4a²x-4a²-3a²b²=0
设M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4a2

3b2-a2

，∴

x1+x2

2

=

2a2

3b2-a2

∵线段MN的中点到y轴的距离为1，∴

2a2

3b2-a2

=1，∴a=b
∵A（-2，0），B（2，0）为焦点，∴a²+b²=4，∴a=b=

2

，
∴双曲线的标准方程为

x2

2

-

y2

2

=1；
（2）证明：设椭圆方程为

x2

4

+

y2

b′2

=1，代入C（1，

3

2

），可得

1

4

+

3

4b′2

=1，∴b′=1
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1，
∴椭圆的上顶点G（0，1），
设直线s的方程为y=kx+1，则直线t的方程为y=-

1

k

x+1
y=kx+1代入椭圆方程，可得（1+4k²）x²+8kx=0，∴x=0或x=-

8k

1+4k2

∴y=1或y=

1-4k2

1+4k2

，即P（-

8k

1+4k2

，

1-4k2

1+4k2

）
同理可得Q（

8k

4+k2

，

k2-4

4+k2

）
∴k_PQ=

k2-4 4+k2 - 1-4k2 1+4k2

8k 4+k2 + 8k 1+4k2

=

k2-1

5k

∴PQ的方程为y-

1-4k2

1+4k2

=

k2-1

5k

（x+

8k

1+4k2

）
令x=0，可得y=-

3

5

∴PQ必过y轴上一定点（0，-

3

5

）．

点评：本题考查双曲线、椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．