Question

一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；
（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

Answer 1

（1）如图：以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系
则A（-2，2），B（2，2）
设抛物线的方程为x²=2Py（P＞0），
将点B（2，2）代入得P=1
所以抛物线弧AB方程为x²=2y（-2≤x≤2）
（2）设等腰梯形的腰与抛物线相切于P(t，

1

2

t2)，（不妨t＞0）
则过P(t，

1

2

t2)的切线l的斜率为y′|_x=t=t
所以切线l的方程为：y-

t2

2

=t(x-t)，即y=tx-

t2

2

令y=0，得x=

t

2

，
令y=2，得x=

t

2

+

2

t

，
所以梯形面积S=

1

2

[2•(

t

2

+

2

t

)+2•

t

2

]•2=2(t+

2

t

)≥4

2

当仅当t=

2

t

，即t=

2

时，“=”成立
此时下底边长为2(

2

2

+

2

2

)=3

2

答：当梯形的下底边长等于3

2

米时，挖出的土最少．