Question

一块边长为10cm的正方形铁片按如图1所示的虚线裁下剪开，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．

（1）试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．
（2）记四棱锥（如图2）的侧面积为S′，定义

V

S′

为四棱锥形容器的容率比，容率比越大，用料越合理．
如果对任意的a，b∈R⁺，恒有如下结论：ab≤

a2+b2

2

，当且仅当a=b时取等号．试用上述结论求容率比的最大值，并求容率比最大时，该四棱锥的表面积．

Answer 1

分析：（1）设出所截等腰三角形的底边边长为xcm，在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，根据实际意义写出定义域．
（2）根据所给结论计算容率比的最大值，并求出四棱锥的表面积．

解答：解：（1）在正四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为x的正方形，
F是BC的中点，EF⊥BC，EF=5，
则四棱锥的高EO=

EF2-OF2

=

25-( x 2 )2

=

100-x2

2

，其中0＜x＜10，
∴四棱锥的体积V=

1

3

×

1

2

x2

100-x2

=

1

6

x2

100-x2

，定义域为（0，10）．
（2）侧面积S'=4×

1

2

x×5=10，
∴容率比为

V

S′

=

1

60

x

100-x2

≤

1

60

•

x2+100-x2

2

=

5

6

，
当且进行x=

00-x2

，即x=5

2

时，

V

S′

有最大值

5

6

，
此时，四棱锥的表面积S=(5

2

)2+4×

1

2

×5

2

×5=50+50

2

．

点评：本题主要考查函数模型的应用，利用条件求出锥体的底面积和高，进而求出锥体的体积是解决本题的关键，考查学生的运算和推理能力．